y平方加16y减480等于多少？它的两个解是什么？

y² + 16y – 480 = 0 的探索之旅

想象一下：篮球在空中划出优美的抛物线，设计师构思着拱形门窗的弧度，或是工程师计算桥梁的承重曲线，这些看似无关的场景，核心都隐藏着一个数学伙伴——二次方程，我们就化身数学侦探，一步步解开 y² + 16y - 480 = 0 的奥秘，领略数学简洁之美。

第一步：方程的本质与目标

眼前这个 y² + 16y - 480 = 0，就是一个标准的二次方程，它的核心结构清晰：ay² + by + c = 0。a = 1 (y²的系数)，b = 16 (y的系数)，c = -480 (常数项)，我们的终极目标，是找到那些能让等式成立的 y 值，数学上称之为方程的“根”或“解”。

第二步：利器在手——求根公式

面对二次方程,代数工具箱里有一件强大武器——求根公式，它像一把万能钥匙：

y = [-b ± √(b² – 4ac)] / (2a)

这个公式直接关联着系数 a, b, c，只要代入数值，计算，答案便自然浮现，就让我们把 a=1, b=16, c=-480 代入公式，开启求解之旅。

第三步：代入与计算（核心步骤）

1. 计算判别式 (D)： 公式中根号内的 b² - 4ac 至关重要，称为判别式（Discriminant），记为 D，它决定了方程解的性质（实数解、复数解、重根）。

   
   • D = b² - 4ac = (16)² - 4 * 1 * (-480)
   • D = 256 + 1920 (注意：减去 4*1*(-480) 等于加上 1920)
   • D = 2176

2. 计算平方根： 判别式 D = 2176 是一个正数，意味着方程有两个不同的实数解，接下来计算它的平方根 √2176。

   • 寻找因数：2176 ÷ 16 = 136，136 ÷ 16 = 8.5（非整数），尝试 2176 ÷ 64 = 34。34 可分解为 2*17。
   • 2176 = 64 * 34 = 64 * 2 * 17 = 128 * 17。
   • √2176 = √(64 * 34) = √64 * √34 = 8√34。
   • 为精确代入公式,保留 √2176 形式或计算数值近似值 ≈46.6476。

3. 代入求根公式：

   • y = [-16 ± √2176] / (2 * 1)
   • 即 y = [-16 ± √2176] / 2
   • 也可写作 y = [-16 ± 8√34] / 2 或 y = -8 ± 4√34。

第四步：得出精确解

通过以上计算,我们得到了方程 y² + 16y - 480 = 0 的两个精确解：

y₁ = [-16 + √2176] / 2 或 y₁ = -8 + 4√34
y₂ = [-16 – √2176] / 2 或 y₂ = -8 – 4√34

第五步：验证解的可靠性（重要！）

数学的魅力在于其严谨性,得到答案后，必须进行验证，将求得的解代回原方程，检查等式是否成立，以 y₁ = [-16 + √2176] / 2 为例：

1. 计算 y₁²： ([-16 + √2176]/2)² = (256 - 32√2176 + 2176) / 4 = (2432 - 32√2176)/4 = 608 - 8√2176。
2. 计算 16y₁： 16 * ([-16 + √2176]/2) = 8 * (-16 + √2176) = -128 + 8√2176。
3. 相加 y₁² + 16y₁ - 480：
   • (608 - 8√2176) + (-128 + 8√2176) - 480
   • 608 - 128 - 480 + (-8√2176 + 8√2176)
   • (608 - 128 = 480; 480 - 480 = 0) + 0
   • = 0。 完美成立！

同样方法可验证 y₂ 也满足方程，这证明了我们求解过程的正确性。

第六步：解的实用化——近似值

精确解体现了数学的美感,但在实际应用中（如计算尺寸、预测落点），我们往往需要具体的数值，计算 √2176 ≈ 46.6476：

• y₁ = [-16 + 46.6476] / 2 ≈ 30.6476 / 2 ≈ 15.3238
• y₂ = [-16 - 46.6476] / 2 ≈ -62.6476 / 2 ≈ -31.3238

方程的两个实数根近似为 y ≈ 15.32 和 y ≈ -31.32，工程师在设计拱门高度时，会选择正值解15.32（单位视具体情境而定）；物理学家分析物体轨迹时，两个解可能对应物体上升与下落经过某高度的时刻。

数学思维的价值

解开 y² + 16y - 480 = 0 的过程，远不止于得到两个数字，它是一次完整的数学实践：

1. 问题识别： 明确对象（二次方程）与目标（求解）。
2. 工具选择： 根据问题特征（标准二次型），选取最合适的解法（求根公式）。
3. 精确执行： 按步骤严谨计算判别式、代入公式。
4. 严谨验证： 代回检验，确保结果无误。
5. 结果诠释： 理解精确解与近似值的意义，联系实际应用。

这种结构化的思维模式——定义问题、选择方法、执行计算、验证结果、应用结论——是数学赋予我们的核心能力，它适用于编程调试、商业决策、科学实验等众多领域，一位资深工程师曾分享，他在设计关键承重结构时，正是依靠同样严谨的方程求解和结果验证流程，确保桥梁安全可靠地跨越江河，数学从来不是抽象的游戏，而是理解世界、构建现实的重要基石，下一次当你看到优美的曲线或精巧的结构，或许就能感受到其中蕴含的数学方程之美。